Õpijuhis

Teema maht: 0,5 EAP

Teema läbinu:

• suudab lahendada elementaarseid protsentülesandeid
• suudab näha igapäevastes tegevustes matemaatika võimalusi
• suudab kasutada matemaatilisi lahendusmeetodeid igapäevaste ülesannete lahendmisel
• oskab hinnata tulemusi

Sisu ja teemad

• protsentarvutus 
• protsendilaadsed
• maksud Eestis
• jadad - aritmeetiline ja geomeetriline jada
• intressid - lihtintress ja liitintress

Korraldus

• lugeda läbi meeldetuletusmaterjal -  pane tähele, et näiteülesanded on rohelised ja olulised terminid on paksus kirjas.
• lahendada ülesanded, mis on antud iga teema kohta - pane tähele, et ajaveebis on ülesannete kohta ka vihjed ja lahendused.
• lisalugemist leiab nii lisatud linkidelt, kasutatud kirjandusest kui ka kõikidest põhikooli matemaatika õpikutest.
• kogu materjali läbimiseks kulub aega umbes 12 tundi.

Kontaktid:

Kristel Reim, MSc
Eesti Ettevõtluskõrgkool Mainor

Kristel.reim@eek.ee  

Mõni ülesanne intressidest

Püüame nüüd jadasid ja protsente kokku panna ning intresse arvutada!

Vaata siit - testmoz.com/80059

Liitintress

Liitintressi arvutamine.

Olgu algkapital k, perioodi intressimäär i = p% / 100% ja perioodide arv n, siis intressi arvutatakse valemiga

(3) I = k * (1 + i)ⁿ * i

ja tagastatav kapital ehk lõppkapital K arvutatakse valemiga

(4) K = k * (1 + i)ⁿ

Enamik laene ja hoiuseid toimib liitintressi meetodil.
Märkus: raamatupidamises arvutatakse amortisatsiooni aga siiski tavaliselt lineaarsel meetodil.

---

Näide. Autoneti andmetel (vt www.autonet.ee) kaotavad vene autod oma väärtusest 15% aastas. Lada Niva 4x4 maksab uuena 8600€ (vt www.lada.ee). Milline on Niva väärus viie aasta pärast? 

Antud ülesandes on algkapital k = 8600€, intressimäär i = -15% / 100% (kuna toimub väärtuse kahanemine), perioodide arv n = 5 aastat. Valemi (4) põhjal saame

K = 8600 * [1 + (- 0,15)]⁵ = 8600 *0,85⁵ = 3815,87

Vastus: Viie aasta pärast on auto hinna jääk umbes 3816€

Lihtintress

Intress - kasvik - on tasu, mille võlausaldaja saab võlgnikult laenu saamise eest. Intressi suurus arvutatakse protsentides võla või laenu summast teatava ajavahemiku kohta. Intressimäär - tulumäär - väljendatakse protsentides ajaperioodi kohta. Enamasti on ajaperioodiks aasta.

Intressi arvutamisel on 2 võimalust

1. lihtintress - arvutatakse alati põhisummast;
2. liitintress - arvutatakse kapitaliseeritud summast ehk põhisummale liidetakse eelmise perioodi intress ja sellest arvutatakse uus intress.

---

Lihtintressi arvutamine.

Olgu algkapital k, perioodi intressimäär i = p% / 100% ja perioodide arv t, siis intressi arvutatakse valemiga

(1) I = k * i * t

ja tagastatav kapital ehk lõppkapital K arvutatakse valemiga

(2) K = k + I = k + k * i * t = k * (1 + i * t)

Enamlevinud rakendus lihtintressile on viiviste arvutus, aga on laenud (nt õppelaen), vekslid jne

---

Näide1. Kiri Perekooli foorumist (vt http://www.perekool.ee/index.php?id=57905&class=forum&action=post&post=5966261) Tere! Soovin teada, kuidas arvutada viivist? Viivise % on 0,02. Mul on saamata palk/lõpparve, 31. oktoobril pidi see kõik arvele tulema.Täna on 8.dets. Viivis on 0,02% päevas. Ei mäleta enam, mida millega jagama pidin, ei oska leida ka kuskilt.Tänud!Aita hädalist! Oletame, et palk/lõpparve oleks olnud 6000€.

Viivis arvutatakse lihtintressi meetodil. Antud juhul on algkapitaliks oletatav k = 6000€, p% = 0,02% ehk i = 0,0002. Hilinenud päevade arv on 1 (päev oktoobrist) + 30 (päeva novembrist) +  7 (päeva detsembrist, sest ei ole veel kindel - äkki kannavad sel päeval ära) = 38 päeva. Viivise saab leida vastavalt valemile (1)

I = 6000 * 0,0002 * 38 = 45,60€

kokku tuleks siis lõpparveks maksta K = k + I = 6000 + 45,60€ =6045,60€

Vastus: Viivis tuleb 45,60€

---

Näide2.   Mati võttis lihtintressiga laenu summas 1100€ intressimääraga 114% aastas, aga maksis laenu tagasi 10 kuu pärast. Kui palju pidi ta tagasi maksma?

Perioodi sees on tegu  lihtintressiga. Antud juhul on algkapital  k = 1100€, intressimäär i = 1,14 aastas, laenuperiood t = 10 kuud. Probleem on selles, et intressiperiood on aasta, kuid laenuperiood on 10 kuus. Seega oleks tarvilik teisendada aasta kohta käiv intressimäär kuu kohta käivaks määraks. Kuna aastas on 12 kuud, siis i_kuu = 1,14 / 12. Siit, arvestades valemit (2)

K = 1100 * (1 + 1,14 / 12 *10) = 2145€

Vastus: Mati pidi tagasi maksma 2145€

Mõni ülesanne geomeetrilisest jadast

Siin üks ülesanne piiiiiiikaks arvutamiseks

testmoz.com/80058

Geomeetriline jada

Geomeetriline jada on arvjada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme jagatis on konstantne, kuid mitte üks. (Miks?)

  

Geomeetriline jada on näiteks

• ... 1 2 4 8 16 ... , kus tegu on kasvava jadaga, mille tegur on 2 (2/1 = 4/2 = 8/4 =... = 2)
• ... 2 -6 18 -54 ..., kus tegu on vahelduvate märkidega jadaga, mille tegur on -3 (-6/2 = 18/ -6 = -54/ 18 = ... = -3)
• ... 200 100 50 25 ..., kus tegu on kahaneva jadaga, mille tegur on 0,5 (100/200 = 50/100 = 25/ 50 = ... =0,5)

Geomeetriline jada ei ole näiteks

• ... 10 20 30 40 ...., sest 20/10 ≠ 30/20

Tähistame geomeetrilise jada elemendid sümbolitega a₁ a₂ a₃ a₄ ning jada teguri sümboliga q. Siis

q = a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = a₄ / a₃

Geomeetriline jada on kasvav, kui d > 1 ja kahanev, kui -1 < d < 1. (Märkus: kui q < 0, siis ei kahane indeksi kasvades mitte jada liikmed vaid nende absoluutväärtused); kui tegur q > 0, siis on geomeetrilise jada liikmed sama märgiga, kui tegur q < 0, siis on jada liikmed vahelduvate märkidega.

Kas geomeetrilise jada tegur võib olla 0? Kas geomeetrilise jada liige võib olla 0? Mis ühikutes väljendatakse geomeetrilise jada tegurit?

  

Suvalise elemendi geomeetrilisest jadast saab leida kasutades valemit

(3)       a_n = a_{1 *} q^n-1 

kus a₁ on jada esimene liige, q on jada vahe ning n näitab mitmendat jada liiget me otsime. 

  

---

Näide: Meenutame legendi malelaua leiutamisest. Selle järgi olevat mängu leiutaja nõudnud rahulolevalt valitsejalt tasu nisuterades. Leiutaja palus nii palju vilja, et malelaua esimesele ruudule oleks pandud üks nisutera, teisele kaks, kolmandale neli, neljandale kaheksa jne, iga ruudu eest kaks korda rohkem teri kui eelmise eest. Kuigi valitseja arvas selle liiga tagasihoidliku soovi olevat, keeldus leiutaja vastu võtmast kulda ja vääriskive valitseja varasalvedest, piirdudes "tagasihoidliku" viljavaruga. Kui palju teri sai leiutaja viimase malelaua ruudu eest?

Tegu on geomeetrilise jadaga, kus jada esimene liige a₁ = 1, teine liige (terade arv teisel ruudul) a₂ = 2, kolmas liige (terade arv kolmandal ruudul) a₃= 4 jne, jada tegur q  = 2/1 = 4/2 = 2.

Siit, arvestades, et malelaual on 8 x 8 ehk 84 ruutu, saame valemi (3) põhjal a₆₄ = 1 * 2^64-1 = 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808

Vastus: Viimasel malelaua ruudul oleks 9 223 372 036 854 775 808 nisutera. Kuidas seda arvu lugeda? (vihje: http://en.wikipedia.org/wiki/Trilliard)

  

---

Geomeetrilise jada liikmete summa saab arvutada valemiga

(4)      S_n = [a₁ * (qⁿ-1)] / (q-1)

kus n näitab mitme liikme summat leiame, a₁ on jada esimene liige, q on jada tegur.

  

---

Näide: Meenutame jälle legendi malelaua leiutamisest. Kui palju teri sai leiutaja kokku?

Tegu on geomeetrilise jadaga, kus jada esimene liige a₁ = 1, teine liige (terade arv teisel ruudul) a₂ = 2, kolmas liige (terade arv kolmandal ruudul) a₃ = 4 jne, jada tegur q  = 2/1 = 4/2 = 2.

Siit, arvestades, et malelaual on 8 x 8 ehk 64 ruutu, saame valemi (4) põhjal S₆₄ = 1 * (2⁶⁴-1) / (2-1) =18 446 744 073 709 551 615

Vastus: Viimasel malelaua ruudul oleks 18 446 744 073 709 551 615 nisutera.
Mitu tonni see teeb? Näiteks, Babülonis oli nisutera kaal etaloniks mida nimetati graan (vaata lähemalt vt http://www.ajaloomuuseum.ut.ee/772016)

Mõni ülesanne aritmeetilisest jadast

Proovime lahendada aritmeetilise jada ülesandeid.
Vaata siit - testmoz.com/80051

Tundub, et turistile vajalik :P